\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Classe de $1^{\text{\’ere}}$ STG}
\author{D. Zancanaro}
\date{2011-2012}

\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Equations-In\'equations}	
\newcommand{\Cl}{1STG}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	

\input macro_dwicky_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm}

\setcounter{NumLecon}{2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\tableofcontents 
\thispagestyle{empty}

\clearpage

\pagenumbering{arabic}
\setcounter{page}{1}

\TITRE{einstein.eps}{0.3}

\debutAiDav

\section{Equation du premier degré}

\subsection{Equation du type $ax+b=c$}

\Defc{Une équation du premier degré à une inconnue est une équation du type $ax+b=c$ où $a$, $b$ et $c$ désignent des nombres réels connus et $x$ une inconnue à déterminer.}

\Expl{$3x-1=2$ est une égalité vraie dès lors que $3x=3$ i.e $x=1$.}

\Expl{$\dfrac{2-x}{4}=1\longleftrightarrow 2-x=4\Longleftrightarrow -x=-6\Longleftrightarrow x=6$}

\subsection{Equation qui se ramène à $ax+b=c$}

Quelques techniques, comme la factorisation et le développement permettent de transformer l'écriture d'une équation qui n'est en apparence pas une équation du premier degré en une équation du premier degré. \\

On les rappelle ici :

\Cadre[Identit\'es Remarquables  ]{ Pour tous nombres $a$, $b$ et $c$ on a
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2 $$
$$ a(b+c)=ab+ac$$
\vspace{-3mm}}

\Exop{Développer les expressions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(2x+3)^2$
\item $(x-5)^2$
\item $(3x+7)(3x-7)$
\item $(4x+3y)^2$
\item $(5x+3)^2-1$
\item $(6-x)^2+2(x-7)^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exop{Factoriser les expressions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^2-10x+25$
\item $x^2-16$
\item $4x^2-49$
\item $4x^2+4x+1$
\item $(5x+3)^2-1$
\item $(6-x)^2-(x-7)^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}}


\Exop{Résoudre les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(2x-5)(x+3)=0$
\item $x(x+1)=0$
\item $(x+7)(4x-8)=0$
\item $(-3x+6)(10-x)=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\Exop{
\begin{enumerate}
\item Résoudre les équations suivantes en développant :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x(x-2)=x^2+5x-7$
\item $(x-1)(x+2)=x^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Résoudre les équations suivantes en factorisant :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^2-81=0$
\item $x^2-7=0$
\item $(x+3)^2-1=0$
\item $9x^2-6x+1=0$
\item $4x^2-8x=0$
\item $4x^2+12x+9=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}}

\section{Inéquation du premier degré}
\subsection{Approche graphique : Les équations de droite}
Voici une droite $d$ d'\'equation $y=2x+1$. 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-1.1)(4.1,5.1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-1.1)(4.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2 x mul 1 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}
\psdot(1,3) \uput[ur](1,3){A}

\psdot(2,4) \uput[ur](2,4){B}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Defc{Dire que $d$ a pour \'equation $y=2x+1$, cela signifie que tout point $M \in d$ a des coordonn\'ees qui v\'erifient l'\'equation de $d$. De plus si un point a des coordonn\'ees qui v\'erifient l'\'equation de $d$, alors ce point est sur la droite et sinon il n'est pas sur la droite.}
\Expl{Le point $A(1;3)\in d$ car $3=2\times1+1$. De plus le point $B(2;4)\notin d$ car $4\neq2\times2+1$}

\Rq{L'\'equation de la droite $d$ n'est pas unique, en effet on peut tr\`es bien l'\'ecrire $2y=4x+2$ ou encore $2y-4y=2$, ect...}

\Thc{Toute droite, non parall\`ele \`a l'axe des ordonn\'ees, admet une \'equation unique de la forme $y=ax+b$. On dit que c'est l'\'equation r\'eduite de la droite. $a$ est appel\'e le coefficient directeur et $b$ l'ordonn\'ee \`a l'origine de la droite.}

\Expl{L'\'equation r\'eduite de la droite $d$ est donc : $y=2x+1$. En revanche $2y=4x+2$ n'est pas l'\'equation r\'eduite de la droite ; de la m\^eme mani\`ere $2y-4y=2$ n'est pas l'\'equation r\'eduite de $d$.}
\Rq{
La droite passant par le point $C(0;1)$ et qui est parall\`ele \`a l'axe des abscisses a pour \'equation r\'eduite $y=0\times x+1$, i.e $y=1$. Le coefficient directeur est $0$ et l'ordonn\'ee \`a l'origine est $1$.}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-1.1)(4.1,2.1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{2}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-1.1)(4.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}


\psdot(0,1) \uput[ur](0,1){C}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{La droite passant par C parall\`ele \`a l'axe des ordonn\'ees admet une \'equation diff\'erente ; tous les points ayant la m\^eme abscisse (1), son \'equation est $x=1$. \textbf{Cette droite n'a donc pas de coefficient directeur ni d'ordonn\'ee \`a l'origine}. \textit{Elle n'admet pas d'\'equation r\'eduite}.
}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-1.1)(4.1,2.1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{2}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-1.1)(4.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(0,1) \uput[ur](0,1){C}


\psline[linestyle=solid,linecolor=black](1,\ymin)(1,\ymax)

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Thc{Toute droite admet une \'equation du type $ax+by=c$. On dit que c'est une \'equation g\'en\'erale, cette \'equation n'est pas unique, au contraire toute admet une infint\'e d'\'equations g\'en\'erales. Les nombres $a$ ; $b$ et $c$ ne portent pas de nom particulier.}
\Rq{On vient de voir que toutes les droites n'admettent pas d'\'equation r\'eduite, en revanche elles admettent toutes une infinit\'e d'\'equation g\'en\'erale.}


\Expl{Les trois droites pr\'ec\'edentes admettent respectivement comme \'equation g\'en\'erale :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $y-2x=2$
\item $y+0x=1$
\item $0y+x=1$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
}
\newpage
\subsubsection{Tracer une droite}
\underline{\textbf{$1^{\text{\`ere}}$ M\'ethode }}: Soit $d$ la droite d'\'equation : $y=-x+3$. 
\begin{enumerate}
 \item Pour tracer une droite il nous suffit de conna\^itre deux points.
\item L'\'equation est une relation liant les coordonn\'ees des points de la droite. Si on choisit pour $x$, par exemple, la valeur $0$, on trouvera, \`a l'aide de l'\'equation la valeur de l'ordonn\'ee $y$. On obtient le point B
\item On r\'eit\`ere ce processus une seconde fois, en choisissant cette fois-ci pour $x$ la valeur $1$. On obtient le point A.
\item Enfin on place les deux points obtenus et on les relie.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-2.1)(4.1,4.1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-2.1)(4.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x sub 3 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}
\psdot(1,2) \uput[ur](1,2){A}

\psdot(0,3) \uput[ur](0,3){B}
\uput[ur](-3,1){\begin{tabular}{|c|c|}
                  \hline 
                   $x$ & $y$ \\
\hline 0 & 3 \\
\hline 1 & 2 \\
\hline
                 \end{tabular}}
\uput[ur](2;3){$d$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{On peut choisir n'importe quelles valeurs pour $x$, mais on s'arrange pour simplifier les calculs au maximum ; pour cette raison on choisit souvent les valeurs 0 et 1.}

\Expl{Soit $d_2$ la droite d'\'equation $2y-3x=1$\newline
Si $x=0$ alors $2y=1\Longleftrightarrow y=\dfrac{1}{2}$\newline
Si $x=1$ alors $2y-3=1\Longleftrightarrow2y=4\Longleftrightarrow y=2$}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-2.1)(4.1,4.1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-2.1)(4.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1.5 x mul 0.5 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}
\psdot(1,2) \uput[ur](1,2){A}

\psdot(0,0.5) \uput[ur](0,0.5){B}
\uput[ur](-3,1){\begin{tabular}{|c|c|}
                  \hline 
                   $x$ & $y$ \\
\hline 0 & $0.5$ \\
\hline 1 & 2 \\
\hline
                 \end{tabular}}
\uput[ur](2,3){$d_2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\newpage
\underline{\textbf{$2^{\text{\`eme}}$ M\'ethode }}: Soit $d$ la droite d'\'equation : $y=-x+3$. 
\begin{enumerate}
 \item On se sert du coefficient directeur et de l'ordonn\'ee \`a l'origine.
\item On place le point de coordonn\'ee $B(0;3)$ (lorsque $x=0$, $y=3$). Quand $x$ prend la valeur 0, $y$ vaut toujours l'ordonn\'ee \`a l'origine.
\item On place ensuite le point de coordonn\'ee $A(1;2)$, obtenu comme expliqué sur le schéma suivant.
\end{enumerate}
\begin{center}
 \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-2.1)(4.1,4.1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-2.1)(4.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4,-2)(4,5)
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x sub 3 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}

\def\G{3}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\G}
\psdot(0,3) \uput[ur](0,3){A}
\psdot(1,2) \uput[ur](1,2){B}

\psline[linestyle=solid,linecolor=black](1,2)(1,3)

\uput[ur](0.5,3){1}


\uput[ur](1,2.5){-1}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\Expl{Soit $d_2$ la droite d'\'equation $2y-3x=1$\newline
Comme on se sert du coefficient directeur et de l'ordonn\'ee \`a l'origine, on doit trouver l'\'equation r\'eduite de $d_2$ :
$$2y-3x=1\Longleftrightarrow 2y=3x+1\Longleftrightarrow y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2} $$}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-2.1)(4.1,5.1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{5}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-2.1)(4.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1.5 x mul 0.5 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}
\def\G{0.5}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\G}
\psline[linestyle=solid,linecolor=black](1,0.5)(1,2)
\psdot(1,2) \uput[ur](1,2){A}

\psdot(0,0.5) \uput[ur](0,0.5){B}
\uput[ur](0.5,0){1}
\uput[ur](1,1.25){1,5}
\uput[ur](2,3){$d_2$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage
\subsubsection{Trouver l'\'equation d'une droite}
On se donne une droite, $d_3$, et le but est de d\'eterminer son \'equation.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-2.1)(4.1,4.1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-2.1)(4.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2 x mul 0.5 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}
\uput[ur](2,3){$d_3$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\underline{\textbf{$1^{\text{\`ere}}$ M\'ethode }}: 
\begin{itemize}
\item $d_3$ n'est pas parall\`ele \`a l'axe des ordonn\'ees donc $d_3$ admet une \'equation r\'eduite de la forme $y=ax+b$
 \item On cherche l'ordonn\'ee du point de la droite dont l'abscisse est 0. 
\newline
Ici ce point a pour ordonn\'ee $0,5$. En conclusion l'\'equation r\'eduite de $d_3$ est $y=ax+0,5$
\item On cherche l'ordonn\'ee du point de la droite dont l'abscisse est 1.\newline
Ici ce point a pour ordonn\'ee $2,5$. On effectue la diff\'erence entre le l'ordonn\'ee de ce point et celle du pr\'ec\'edent : $2,5-0,5=2$. En conclusion l\'equation r\'eduite de $d_3$ est $y=2x+0,5$
\end{itemize}
 
\hspace{5mm}
\newline
\underline{\textbf{$2^{\text{\`eme}}$ M\'ethode }}:
\begin{itemize}
 \item $d_3$ n'est pas parall\`ele \`a l'axe des ordonn\'ees donc $d_3$ admet une \'equation r\'eduite de la forme $y=ax+b$
\item On cherche les coordonn\'ees de deux points de la droite. Par exemple $A(0;0.5)$ et $B(1;2,5)$.
\item le coefficient directeur s'obtient en appliquant la formule : $$\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{2,5-2}{1-0}=\dfrac{2}{1}=2$$
L'\'equation r\'eduite ne pr\'esente plus qu'une inconnue, $b$ : $y=2x+b$
\item On remplace $x$ et $y$ par les coordonn\'ees de A ou de B dans l'\'equation r\'eduite afin de trouver la valeur de $b$ :\newline
 Avec les coordonn\'ees de A 
$ 0,5=2\times0+b\Longleftrightarrow b=0.5$ \newline
Avec les coordonn\'ees de B : $ 2,5=2\times1+b\Longleftrightarrow b =2,5-2=0,5$
\newline
En conclusion l'\'equation r\'eduite de $d_3$ est : $y=2x+0,5$
\end{itemize}

\pagebreak
\subsubsection{Signe de $ax+b$}
 Observons la représentation graphique de la droite $y=-\dfrac{2}{3}x+1$
 
 \begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-2.1)(4.1,4.1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-2.1)(4.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x sub 3 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}
\psdot(1,2) \uput[ur](1,2){A}

\psdot(0,3) \uput[ur](0,3){B}
\uput[ur](-3,1){\begin{tabular}{|c|c|}
                  \hline 
                   $x$ & $y$ \\
\hline 0 & 3 \\
\hline 1 & 2 \\
\hline
                 \end{tabular}}
\uput[ur](2;3){$d$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On en déduit automatiquement le signe de $-\dfrac{2}{3}x+1$ en fonction des valeurs de $x$. Cette expression vaut $0$ si $x=3$, elle est négative dès lors que $x>3$ et positive sinon, d'où :

$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{3}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{-\dfrac{2}{3}x+1}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$

\subsection{Approche algébriste}

On peut résoudre sans recours au graphique l'inéquation $-3x+1>0\Longleftrightarrow -3x>-1\Longleftrightarrow x<\dfrac{1}{3}$, ce qui permet de conclure que l'expression $-3x+1>0$ dès lors que $x>\dfrac{1}{3}$. On résume cela par :

$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{1}{3}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{-3x+1}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$


De manière générale :

$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-\dfrac{b}{a}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{ax+b}&&\tx{\text{du signe de -a}}&\tx{0}&\tx{\text{du signe de a}}&\cr
}$$





\subsection{Application : Signe d'un produit et d'un quotient}

\Cadre[Rappel]{Le signe d'un produit dépend du signe de chaque facteur, le signe d'un quotient dépend des signes du numérateur et du dénominateur.}


\Exop{\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation $(x+3)(7-2x)\geq 0$
\item Résoudre l'inéquation $\dfrac{2x-5}{x+7}<0$
\item Prolongement éventuel : Résoudre les inéquations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x(x+5)(3x-8)>0$
\item $(x-4)^2<(6x+7)^2$
\item $\dfrac{x+6}{x^2-25}\leq 0$
\item $\dfrac{x^2-4}{x^2-9x}\geq 0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}}
\pagebreak
\section{Systèmes d'équations}

\begin{enumerate}
 \item \textbf{M\'ethode par substitution :}
On se propose de r\'esoudre le syst\`eme suivant : 
$\left\{\begin{array}{l}
 3x+y=6 \\ 2x-5y=9
\end{array}\right.$
\begin{enumerate}
 \item Exprimer \`a l'aide de la premi\`ere \'equation $y$ en fonction de $x$.
 \item Remplacer dans la deuxi\`eme \'equation $y$ par l'expression obtenue.
 \item D\'eterminer $x$, puis en d\'eduire $y$.
 \item \'Ecrire l'ensemble des solutions
\end{enumerate}
\Rqs{
 \item Les r\^oles de $x$ et de $y$ sont sym\'etriques (on peut exprimer $x$ en fonction de $y$ \`a la $1^{\`ere}$ \'etape)
\item Les r\^oles des \'equations sont sym\'etriques (on peut utiliser la $2^{\`eme}$ \'equation dans la $1^{\`ere}$ \'etape)
}
\item \textbf{M\'ethode par combinaison lin\'eaire :}
On se propose de r\'esoudre le syst\`eme suivant : 
$\left\{ \begin{array}{l}
 3x-2y=7 \\2x+7y=-6
\end{array} \right.$
\begin{enumerate}
 \item Multiplier la $1^{\`ere}$ et la $2^{\`eme}$ ligne par des nombres appropri\'es afin de faire appara\^itre des coefficients oppos\'es devant le $x$
 \item Additionner les deux lignes
 \item On a obtenu une seule \'equation \`a d'inconnue $y$. D\'eterminer $y$
 \item Remplacer $y$ par sa valeur trouv\'ee dans l'une des \'equations
 \item On a obtenu une seule \'equation d'inconnue $x$. D\'eterminer $x$
 \item \'Ecrire l'ensemble des solutions.
\end{enumerate}
\Rqs{
\item Apr\`es avoir trouver $x$, on peut refaire une combinaison lin\'eaire pour trouver $y$
 \item Les r\^oles de $x$ et de $y$ sont sym\'etriques (on peut travailler sur les coefficients de $y$)
}
\item \textbf{M\'ethode graphique}
On se propose de r\'esoudre le syst\`eme suivant : 
$\left\{ \begin{array}{l}
 x+2y=4 \\2x-3y=-13
\end{array} \right.$\newline
\`A chaque \'equation du syst\`eme, il est possible d'associer une droite. Graphiquement, les \'eventuels couples solutions sont les coordonn\'ees des points communs \`a ces droites.
\begin{enumerate}
 \item Dans un rep\`ere orthonormal $(O;\vec i; \vec j)$, tracer les droites appropri\'ees
 \item D\'eterminer alors graphiquement l'ensemble solution du syst\`eme donn\'e.
\end{enumerate}
\Rq{
On peut anticiper le nombre de couples solutions d'un syst\`eme du type : $\left\{ \begin{array}{l}
 ax+by=c \\a'x-b'y=c'
\end{array} \right.$
\begin{itemize}
 \item Si $ab'-a'b \neq 0$, on sait que les droites associ\'ees ne sont pas parall\`eles. Elles sont donc s\'ecantes en un unique point de coordonn\'ees $(x_0;y_0)$. Le syst\`eme admet\textbf{ un unique couple solution}.
 \item Si $ab'-a'b = 0$ alors on sait que les droites associ\'ees sont parall\`eles. Soit elles sont strictement parall\`eles ($a$, $b$ et $c$ non proportionnels \`a $a'$, $b'$, et $c'$) et le syst\`eme n'admet \textbf{aucun couple solution}; soit elles sont confondues ($a$, $b$ et $c$ proportionnels \`a $a'$, $b'$, et $c'$) et le syt\`eme admet une \textbf{infinit\'e de couples solutions} (ceux qui v\'erifient l'\'equation de la droite)
\end{itemize}}
\end{enumerate}

\Defc{
On appelle le nombre $ab'-a'b$ le d\'eterminant du syst\`eme d'\'equations, car il permet de d\'eterminer \`a l'avance le nombre de solutions du syst\`eme.}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
 D\'eterminant $\neq 0$ & \multicolumn{2}{|c|}{ D\'eterminant $=0$} \\ \hline
Les droites associ\'ees & Les droites associ\'ees  & Les droites associ\'ees  \\ 
sont s\'ecantes & sont strictement parall\`eles & sont confondues \\ \hline 
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-2.1)(2.1,3.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-2.1)(2.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3,-2)(2,3)
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 2 x mul sub 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{2}{\F}
\def\G{0.5 x mul 2 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{2}{\G}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
& 
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-2.1)(2.1,3.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-2.1)(2.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3,-2)(2,3)
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0.5 x mul 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{2}{\F}
\def\G{0.5 x mul 2 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{2}{\G}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
& 
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-2.1)(2.1,3.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-2.1)(2.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-3,-2)(2,3)
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 2 x mul sub 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{2}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\\\hline
Le syst\`eme admet  & Le syst\`eme n'admet & Le syst\`eme admet  \\
une unique solution & aucune solution & une infinit\'e de solutions \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Exop{
La soci\'et\'e Net Plus a mis en vente sur son site internet deux nouveaux t\'el\'ephones portables. \newline
Au cours du mois de juin, elle a vendu 25 mod\`eles $A$ et 45 mod\`eles $B$ pour un chiffre d'affaires de $6 179 \euro$. \newline
Au cours du mois suivant, les ventes du mod\`ele $A$ ont progress\'e de $20\%$ mais celles du mod\`ele $B$ ont chut\'e d'un tiers, pour un chiffre d'affaires ce mois-l\`a de $4906 \euro$. D\'eterminer le prix de chaque mod\`ele.
}
\Exop{
Une entreprise de travaux publics a d\^u acheter des gaines et des c\^ables pour r\'ealiser le c\^ablage informatique d'un lyc\'ee. Le chantier s'est d\'eroul\'e en deux phases.\newline
 Lors de la premi\`ere, elle a pos\'e 200m de gaine et 600m de c\^able pour un co\^ut de 660 $\euro$. \newline
Lors de la deuxi\`eme phase, elle a pos\'e 300m de gaine et 1200m de c\^able pour un co\^ut de 1 155 $\euro$.
\begin{enumerate}
 \item Les co\^ut n'ont pas \'evolu\'e entre les deux phases. Quels sont les prix d'un m\`etre de c\^able et d'un m\`etre de gaine ?
\item Les co\^ut ont augment\'e de $10\%$ entre les deux phases. Quels \'etaient les prix d'un m\`etre de c\^able et d'un m\`etre de gaine lors de la premi\`ere phase ?
\end{enumerate}
}
\Exop{
Il faut nettoyer les all\'ees d'un espace vert. La remorque tract\'ee du jardinier p\`ese \`a vide 50kg. Quand elle est remplie de feuilles, elle p\`ese 55kg, mais quand elle est remplie de glands, elle p\`ese 80kg.\newline
Le jardinier a rempli et vid\'e 10 remorques, ce qui repr\'esente une masse totale de $112.5$kg de d\'echets verts.\newline
Quelles sont les masses respectives, exprim\'ees en kg, de feuilles et de glands qu'il a ramass\'es ?
}
\Exop{
Les habitants du square de Beauvillage ont aper\c cu dimanche 7 cigognes, de smerles et des pies. Ils ont d\'enombr\'e en tout 32 oiseaux. Le lendemain, les cigognes \'etaient parties, mais les habitants ont compt\'e deux fois plus de merles et trois fois moins de pies que la veille. Ils ont vu en tout 25 oiseaux.\newline
Combien y avait-il de merles et de pies dans le square de Beauvillage ce dimanche ?
}

\end{document}