\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire


\Exoi{\hfill (5 points)\\
On considère deux urnes $U$ et $V$. L'urne $U$ contient quatre boules, trois sont rouges et une est bleue. L'urne $V$ en revanche contient cinq boules, deux sont bleues et trois sont rouges.\\
Un individu choisit au hasard une urne, puis choisit au hasard une boule dans l'urne de son choix. Il observe la couleur obtenue.
\\
On note $U$ l'événement \og l'individu a choisit l'urne $U$.\fg\\
On note $V$ l'événement \og l'indididu a choisit l'urne $V$. \fg\\
On note $R$ l'événement \og l'individu a tiré une boule rouge. \fg\\
On note $B$ l'événement \og l'individu a tiré une boule bleue.\fg.
\begin{enumerate}
\item %Réaliser un arbre de probabilité décrivant l'univers de cette expérience aléatoire.
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$U$}\taput{\small $\frac{1}{2}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{\small $\frac{3}{4}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\tbput{\small $\frac{1}{4}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\tbput{\small $\frac{1}{2}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{\small $\frac{2}{5}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\tbput{\small $\frac{3}{5}$}
}
}
\end{center}
\item %Déterminer la probabilité que la boule tirée par l'individu soit bleue et provienne de l'urne $U$.
On cherche donc la probabilité de l'événement $B\cap U$, on obtient :
$$ P(B\cap U)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$$
\item %Décrire par une phrase l'événement $V\cap B$, puis calculer sa probabilité.
$ V\cap B$ : \og la boule tirée par l'individu est bleue et provient de l'urne $V$. \fg Par conséquent :
$$ P(V\cap B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{5}$$
\item %Déduire des deux premières questions la probabilité que la boule tirée soit bleue.
$$P(B)= P(B\cap U)+P(V\cap B)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{40}+\dfrac{8}{40}=\dfrac{13}{40}$$
\item %En déduire la probabilité que la boule tirée soit rouge.
La boule tirée est soit rouge, soit bleue, par conséquent :
$$ P(R)=P(\overline{B})=1-P(B)=1-\dfrac{13}{40}=\dfrac{27}{40}$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
Un magasin commercialise un lot de $500$ tee-shirts (avec ou sans manche), dont $350$ présentent un défaut.\\
Parmi les $300$ tee-shirts avec manches, seuls $10$ sont sans défaut. Un client choisit au hasard un tee-shirt.\\
On note $M$ : \og le tee-shirt a des manches \fg.\\
On note $S$ : \og le tee-shirt est sans défaut\fg.
\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre suivant :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$M$}\taput{\small $\frac{3}{5}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\small $\frac{1}{30}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\small $\frac{29}{30}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{M}$}\tbput{\small $\frac{2}{5}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\small $\frac{14}{20}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\small $\frac{6}{20}$}
}
}
\end{center}
\item $P(M)=\dfrac{3}{5}$, puis $P(S)=\dfrac{150}{500}$.
\item %Calculer 
$$P(M\cap S)=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{1}{30}=\dfrac{1}{50}$$
\item %Décrire à l'aide d'une phrase l'événement 
$M\cup S$ : \og le tee-shirt a des manches ou est sans défaut.\fg. On a :
% puis calculer sa probabilité.
$$ P(M\cup S)=P(M)+P(S)-P(M\cap S)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{15}{50}-\dfrac{1}{50}=\dfrac{44}{50}$$
\item Décrire à l'aide d'une phrase l'événement $\overline{M\cup S}$ puis calculer sa probabilité.
$\overline{M\cup S}$ : \og Le tee-shirt ne possède pas de manche et a des défaut. On a :
$$ P(\overline{M\cup S})=1-P(M\cup S)=\dfrac{6}{50}$$
\end{enumerate}
}
\pagebreak
%\vfill

\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ correction de l'interrogation n$^{\circ}4$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro bis
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\Exoi{\hfill (5 points)\\
On considère deux urnes $U$ et $V$. L'urne $U$ contient trois boules, deux sont rouges et une est bleue. L'urne $V$ en revanche contient cinq boules, quatre sont bleues et une est rouge.\\
Un individu choisit au hasard une urne, puis choisit au hasard une boule dans l'urne de son choix. Il observe la couleur obtenue.
\\
On note $U$ l'événement \og l'individu a choisit l'urne $U$.\fg\\
On note $V$ l'événement \og l'indididu a choisit l'urne $V$. \fg\\
On note $R$ l'événement \og l'individu a tiré une boule rouge. \fg\\
On note $B$ l'événement \og l'individu a tiré une boule bleue.\fg.
\begin{enumerate}
\item %Réaliser un arbre de probabilité décrivant l'univers de cette expérience aléatoire.
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$U$}\taput{\small $\frac{1}{2}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{\small $\frac{2}{3}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\tbput{\small $\frac{1}{3}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\tbput{\small $\frac{1}{2}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{\small $\frac{4}{5}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\tbput{\small $\frac{1}{5}$}
}
}
\end{center}
\item %Déterminer la probabilité que la boule tirée par l'individu soit bleue et provienne de l'urne $U$.
On cherche donc la probabilité de l'événement $B\cap U$, on obtient :
$$ P(B\cap U)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$$
\item %Décrire par une phrase l'événement $V\cap B$, puis calculer sa probabilité.
$ V\cap B$ : \og la boule tirée par l'individu est bleue et provient de l'urne $V$. \fg Par conséquent :
$$ P(V\cap B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{5}$$
\item %Déduire des deux premières questions la probabilité que la boule tirée soit bleue.
$$P(B)= P(B\cap U)+P(V\cap B)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{5}{30}+\dfrac{12}{30}=\dfrac{17}{30}$$
\item %En déduire la probabilité que la boule tirée soit rouge.
La boule tirée est soit rouge, soit bleue, par conséquent :
$$ P(R)=P(\overline{B})=1-P(B)=1-\dfrac{17}{30}=\dfrac{13}{30}$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
Un magasin commercialise un lot de $700$ tee-shirts (avec ou sans manche), dont $500$ présentent un défaut.\\
Parmi les $500$ tee-shirts avec manches, seuls $50$ sont sans défaut. Un client choisit au hasard un tee-shirt.\\
On note $M$ : \og le tee-shirt a des manches \fg.\\
On note $S$ : \og le tee-shirt est sans défaut\fg.
\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre suivant :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$M$}\taput{\small $\frac{5}{7}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\small $\frac{1}{10}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\small $\frac{9}{10}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{M}$}\tbput{\small $\frac{2}{7}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\small $\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\small $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$}
}
}
\end{center}
\item $P(M)=\dfrac{5}{7}$, puis $P(S)=\dfrac{200}{700}$.
\item %Calculer 
$$P(M\cap S)=\dfrac{5	}{7}\times \dfrac{1}{10}=\dfrac{5}{70}$$
\item %Décrire à l'aide d'une phrase l'événement 
$M\cup S$ : \og le tee-shirt a des manches ou est sans défaut.\fg. On a :
% puis calculer sa probabilité.
$$ P(M\cup S)=P(M)+P(S)-P(M\cap S)=\dfrac{50}{70}+\dfrac{20}{70}-\dfrac{5}{70}=\dfrac{65}{70}$$
\item Décrire à l'aide d'une phrase l'événement $\overline{M\cup S}$ puis calculer sa probabilité.
$\overline{M\cup S}$ : \og Le tee-shirt ne possède pas de manche et a des défaut. On a :
$$ P(\overline{M\cup S})=1-P(M\cup S)=\dfrac{5}{70}$$
\end{enumerate}
}
\end{document}
