  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les nombres \linebreak[2] Complexes 1/2}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[french]{varioref}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\pagestyle{styleDav}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 2}
\rhead{Equations et inéquations}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction DS 2 : Equations et inéquations}


\vspace*{1cm}


\textbf{Formulaire} : On rappelle que :
\Cadre[Identit\'es Remarquables  ]{ Pour tous nombres $a$, $b$ et $c$ on a
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2 $$
$$ a(b+c)=ab+ac$$
\vspace{-3mm}}



\Exoi{Développer les expressions suivantes :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$
\item $(x-5)^2=x^2-10x+25$
\item $(3x+7)(3x-7)=9x^2-49$
\item $(4x+3y)^2=16x^2+24xy+9y^2$
\item $(5x+3)^2-1=25x^2+30x+9-1=25x^2+30x+8$
\item $(6-x)^2+2(x-7)^2=36-12x+x^2+2(x^2-14x+49)=36-12x+x^2+2x^2-28x+98=3x^2-40x+134$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
}


\Exoi{Factoriser les expressions suivantes :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^2-10x+25=(x-5)^2$
\item $x^2-16=(x-4)(x+4)$
\item $4x^2-49=(2x-7)(2x+7)$
\item $4x^2+4x+1=(2x+1)$
\item $(5x+3)^2-1=(5x+3-1)(5x+3+1)=(5x+2)(5x+4)$
\item $(6-x)^2-(x-7)^2=(6-x+x-7)(6-x-x+7)=-1(13-2x)$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
}

\Exoi{Résoudre les équations suivantes :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $2x-7=3\Longleftrightarrow 2x=10\Longleftrightarrow x=5$
\item $-4x+1=2x\Longleftrightarrow -6x=-1\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{6}$
\item $\dfrac{1}{4}x-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{4}\Longleftrightarrow 5x-8=15\Longleftrightarrow 5x=23\Longleftrightarrow x=\dfrac{23}{5}$
\item $(2x-5)(x+3)=0\Longleftrightarrow 2x-5=0\qquad \text{ou}\qquad x+3=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\qquad \text{ou}\qquad x=-3$
\item $x(x+1)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad x+1=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad x=-1$
\item $(x+7)(4x-8)=0\Longleftrightarrow x+7=0\qquad \text{ou}\qquad 4x-8=0\Longleftrightarrow x=-7\qquad \text{ou} x=2$
%\item $(-3x+6)(10-x)=0$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
}

\Exoi{
\begin{enumerate}
\item Résoudre les équations suivantes en développant :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x(x-2)=x^2+5x-7\Longleftrightarrow x^2-2x=x^2+5x-7\Longleftrightarrow -2x=5x-7\Longleftrightarrow -7x=-7\Longleftrightarrow x=1$
\item $(x-1)(x+2)=x^2\Longleftrightarrow x^2+2x-x-2=x^2\Longleftrightarrow x-2=0\Longleftrightarrow x=2$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\item Résoudre les équations suivantes en factorisant :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^2-81=0\Longleftrightarrow (x-9)(x+9)=0\Longleftrightarrow x-9=0\qquad \text{ou} \qquad x+9=0 \Longleftrightarrow x=9\qquad \text{ou} \qquad x=-9$
%\item $x^2-7=0$
%\item $(x+3)^2-1=0$
\item $9x^2-6x+1=0\Longleftrightarrow (3x-1)^2=0\Longleftrightarrow 3x-1=0 \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{3}$
\item $4x^2-8x=0\Longleftrightarrow x(4x-8)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad 4x-8=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad x=2$
\item $4x^2+12x+9=0\Longleftrightarrow (2x+3)^2=0\Longleftrightarrow 2x+3=0\Longleftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{enumerate}}


\Exoi{
\begin{enumerate}
\item Tracer, dans un même repère, les droites $d_1$, $d_2$, $d_3$ et $d_4$ d'équations :\\
$$ d_1 : y=x+1\qquad d_2 : y=-2x+3\qquad d_3 : y=3x-4\qquad d_4 : y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$$
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.1,-3.98)(7.54,5.78)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.1,-3.98)(7.54,5.78)
\psplot[plotpoints=200]{-2.1}{7.54}{x+1}
\psplot[plotpoints=200]{-2.1}{7.54}{-2*x+3}
\psplot[plotpoints=200]{-2.1}{7.54}{3*x+4}
\psplot[plotpoints=200]{-2.1}{7.54}{1/2*x-1/2}
\rput[tl](3.5,4.42){$\mathscr D_1 :y=x+1$}
\rput[tl](3.34,-2.5){$\mathscr D_2 : y=-2x+3$}
\rput[tl](0.84,5.44){$\mathscr D_3 : y=3x+4$}
\rput[tl](4.16,1.62){$\mathscr D_4 : y=\dfrac{1}{2} x-\dfrac{1}{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item 
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-\dfrac{4}{3}}&&\tx{-1}&&\tx{1}&&\tx{1,5}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x+1}&&&\tx{-}&&\tx{0}&&&\tx{+}&&&\cr
\tx{-2x+3}&&&&&\tx{+}&&&&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{3x+4}&&\tx{-}&\tx{0}&&&&\tx{+}&&&&\cr
\tx{\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}}&&&&\tx{-}&&&\tx{0}&&\tx{+}&&\cr
}$$
\end{enumerate}}
\pagebreak
\Exoi{%Donner l'équation de la droite $\mathscr D$, puis celle de la droite $\mathscr D'$ représentées ci-dessous :
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.48,-2.49)(5.29,3.99)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.48,-2.49)(5.29,3.99)
\psplot[plotpoints=200]{-2.4833466666666664}{5.289693333333334}{-(x)+3}
\rput[tl](1.35,2.39){$\mathscr D$}
\psplot[plotpoints=200]{-2.4833466666666664}{5.289693333333334}{x-2}
\rput[tl](0.94,-1.09){$\mathscr D'$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On lit graphiquement :
$$ \mathscr D : y=-x+3\qquad \text{et}\qquad \mathscr D' : y=x-2$$
}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Dresser les tableaux de signes des expressions suivantes :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item %$ (x-1)(-2x+3)$
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $x-1$/1, $-2x+3$/1, $ (x-1)(-2x+3)$/2}{$-\infty$,$1$,$1.5$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+, ,+}
\tkzTabLine{,+, ,+,z,-}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item %$ \dfrac{x+1}{x-1}$
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, $x+1$/1, $x-1$/1, $ \dfrac{x+1}{x-1}$/2}{$-\infty$,$-1$,$1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+, ,+}
\tkzTabLine{,-, ,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,t,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
%\end{multicols} 
\item Déduire des tableaux de signes de la première question les solutions des inéquations suivantes :
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ (x-1)(-2x+3)\leq 0$, pour $x\in]-\infty;1]\cup [1,5;+\infty[$
\item $ \dfrac{x+1}{x-1}>0$, pour $x\in]-\infty;-1[\cup ]1;+\infty[$.
\end{enumerate}
%\end{multicols} 
\end{enumerate}}
\pagebreak
\Exoi{
\begin{enumerate}
\item %Déterminer trois nombres entiers consécutifs dont la somme vaut $96$.
Notons $x$ le plus des nombres cherchés, on a donc :
$$ x+x+1+x+2=96\Longleftrightarrow 3x=96-3 \Longleftrightarrow 3x=93\Longleftrightarrow x=\dfrac{93}{3}=31$$
Au final on a  bien :
$$ 31+32+33=96$$
\item %Trouver un nombre entier qui multiplié par $6$ augmente de $60$.
Soit $x$ ce nombre, on a alors :
$$ 6x=x+60\Longleftrightarrow 5x=60\Longleftrightarrow x=\dfrac{60}{5}=12$$
En effet si on multiplie $12$ par $6$, on obtient $72$ et on a bien $12+60=72$ !
\end{enumerate}}
\end{document}
